Пусть имеются инерциальные системы отсчета K и K'. На рисунке предполагается, что движется система K', в то время как система K неподвижна. С таким же правом можно считать, что неподвижна система K', а система K движется относительно нее со скоростью —V. рис 7.2.1 Предположим, что происходит какое-то событие. В системе K оно характеризуется значениями координат и времени x, у, z, t; в системе K'— значениями координат и времени x', y', z', t'. Найдем формулы связывающие нештрихованные значения со штрихованными. Из однородности пространства и времени следует, что эти формулы должны быть линейными. При показанном на рис. направлении координатных осей плоскость y' = 0 совпадает с плоскостью y = 0, а плоскость z' = 0 совпадает с плоскостью z = 0. Отсюда вытекает, что, например, координаты y и y' должны обращаться в нуль одновременно, независимо от значений других координат и времени. Это возможно лишь при условии, что (7.2.1) где вследствие линейности уравнения постоянная величина. Ввиду равноправности систем K и K' обратное преобразование должно иметь вид с тем же значением а, что и при прямом преобразовании. Перемножив оба соотношения, найдем, что 2= 1, откуда = ±1. Для одинаково направленных осей нужно взять = +1. В результате находим, что y =y' или y' = y (7.2.2)

Аналогичным образом получается формула

Из этих формул вытекает, что значения y и z не зависят от x' и t', откуда следует, что значения x' и t' не могут зависеть от y и t; соот-но значения x и t не могут зависеть от y' и z'. Это означает, что x и t являются линейными функциями только x' и t'.

Из рис. следует, что точка O имеет координату x = O в системе Kи x' = -Vt' в системе K'. Следовательно, выражение x' + Vt' должно обращаться в нуль одновременно с координатой x (когда x' + Vt' равно нулю, x' = -Vt'). Для этого линейное преобразование должно иметь вид

x=(x' + Vt')

(7.2.4)

где - константа. Точка O имеет координату x' = 0 в системе K' и x = Vt в системе K. Следовательно, выражение x-Vt должно обращаться в нуль одновременно с координатой x' (когда x-Vt = 0, то x =Vt). Для этого нужно, чтобы выполнялось соотношение

x'= (x + Vt)

(7.2.5)

В силу равноправности систем K и K' коэффициент в обоих случаях должен быть один и тот же.

Теперь воспользуемся принципом постоянства скорости света. Начнем отсчет времени в обеих системах с того момента, когда начала координат O и O' совпадают. Предположим, что в момент t = t' = 0 в направлении осей x и x' посылается световой сигнал, который производит вспышку света на экране. Это событие (вспышка) характеризуется в системе K координатой x и временем t, а в системе K' - координатой x' и временем t', причем

(скорость c в обоих случаях одна и та же). Подставив эти значения x и x' в формулы, получим соотношения

ct = (ct' + Vt') = (c + V)t', ct' = (ct - Vt) = (c - V)t

(7.2.7)

Перемножив эти соотношения и сократив обе части получившегося равенства на tt', придем к уравнению

c2=2(c2-V2)

(7.2.8)

Отсюда

(7.2.9)

где = V/c.

Подстановка найденного значения у в (7.2.4) и (7.2.5) приводит к формулам

(7.2.10)

Чтобы найти формулы преобразования времени, исключим из формул (7.2.10) координату x и разрешим получившееся уравнение относительно t. Затем исключим из формул (7.2.10) координату x' и разрешим получившееся уравнение относительно t'. В результате придем к формулам

(7.2.11)

Напишем вместе формулы (7.2.2), (7.2.3), (7.2.10) и (7.2.11), подразделив их на две группы:

(7.2.12)

(7.2.13)

Эти формулы называются преобразованиями Лоренца. По формулам (7.2.12) осуществляется переход от системы K' к системе K', по формулам (7.2.13)—переход от системы K к системе K'. Вследствие равноправности систем преобразования (7.2.12) и (7.2.13) отличаются лишь знаком перед V. Это отличие обусловлено тем, что система K' движется относительно системы K со скоростью V, в то время как система K движется относительно системы K' со скоростью -V.

В пределе при преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Таким образом, различие в течение времени в разных инерциальных системах отсчета обусловлено существованием предельной скорости распространения взаимодействий. При скоростях много меньших скорости света (т. е. при << 1) преобразования Лоренца практически не отличаются от преобразований Галилея. Следовательно, преобразования Галилея сохраняют значение для скоростей, малых по сравнению со скоростью света.

При V > c выражения для x, t, x' и t' в формулах (7.2.12) и (7.2.13) становятся мнимыми. В этом проявляется то обстоятельство, что движение со скоростями, большими с, невозможно. Невозможна даже система отсчета, движущаяся со скоростью с, потому что при V = c знаменатели формул для x и t обращаются в нуль.