Рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной материальной точки (частицы) массы m, движущейся под действием сил, результирующая которых равна F. Напишем уравнение движения частицы (— ускорение частицы). Умножим скалярно обе части этого равенства на элементарное перемещение частицы ds: mvds = Fds (2.2.1) Учтя, что ds = vdt напомним, что перемещение ds совпадает с приращением радиус вектора dr, представим левую часть равенства в виде m vdt = mvdv (2.2.2)

Согласно формуле dv = vdv. Следовательно

(2.2.3)

Заменив полученным выражением левую часть формулы, придем к соотношению

(2.2.4)

Если результирующая сил, действующих на частицу, равна нулю, d(mv²/2) = 0, а сама величина

остается постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы.

Приняв во внимание, что произведение mv равно модулю импульса частицы р, выражению можно придать вид

Если вила F, действующая на частицу, не равна нулю, кинетическая энергия получит за время dt приращение dE_k = Fds,где ds— перемещение частицы за время dt

Величина dA=Fds называется работой, совершаемой силой F на пути ds (ds — модуль перемещения ds). Из следует, что работа характеризует изменение кинетической энергии, обусловленное действием силы на движущуюся частицу: dE_k = dA

Проинтегрируем (т. е. «просуммируем») обе части равенства вдоль траектории частицы от точки 1 до точки 2

Левая часть полученного равенства представляет собой приращение кинетической энергии частицы:

Правая часть есть работа силы F на пути 1-2

Таким образом, мы пришли к соотношению

(2.2.5)

из которого следует, что работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы.

Согласно определению и выражение для элементарной работы можно представить в виде dA = Fds = Fcos ds, где F—модуль силы, ds— путь, пройденный точкой приложения силы, —угол между векторами силы F и перемещения ds.

Если угол острый, работа dA положительна. Согласно (2.2.5) приращение кинетической энергии также положительно; следовательно, кинетическая энергия увеличивается.

Если угол тупой, работа и приращение кинетической энергии отрицательны; следовательно, кинетическая энергия уменьшается.

При работа равна нулю и кинетическая энергия остается неизменной.

Напишем выражение для работы в виде dA = F_sds, где F_s — проекция силы на направление перемещения ds, a ds — модуль перемещения, равный элементарному пути.