Формула Пуазейля дает величину объемного расхода жидкости при ламинарном течении жидкости по цилиндрическим трубам. Рассмотрим установившийся поток жидкости по цилиндрической трубе радиуса R и длины L, ось которой горизонтальна (рис.5.6.1).
рис 6.3.1
Давление в левом сечении трубы равно P1 , а в правом Р2 , причем P1>P2. Скорость потока максимальна вдоль оси трубы и равна ну ли у стенок, выделим в трубе тонкий цилиндрический слой радиуса х и толщины dx, в пределах которого скорость жидкости можно считать одинаковой. На торцы выделенного слоя действует силы давления, равнодействующая которых равна:
(5.6.1)
На внутреннюю и внешнюю поверхности слоя действуют силы вязкого трения. По закону Ньютона для вязкого трения на внутреннюю поверхность слоя действует сила:
(5.6.2)
а равнодействующая сил вязкого трения, приложенных к внутренней и внешней поверхностям, соответственно равна:
(5.6.3)
Так как жидкость движется с постоянной скоростью, сумма приложенных к слою сил равна нулю, т.е.:
(5.6.4)
Интегрируя (5.6.4), получим:
(5.6.5)
Постоянную интегрирования С1 можно получить из условия, что вдоль оси трубы скорость максимальна:
(5.6.6)
следовательно С1=0. С учетом этого:
(5.6.7)
Интегрируя (5.6.7), получим:
(5.6.8)
Постоянную интегрирования С2 получим из условия, что у стенок трубы скорость жидкости равна нулю x=R, V=0, поэтому:
(5.6.9)
Подставив найденное значение постоянной интегрирования в общее решение, получим зависимость скорости жидкости от расстояния до оси трубы:
(5.6.10)
Для определения объемного расхода запишем сначала элементарный объемный расход по выделенному цилиндрическому слою:
(5.6.11)
Полный объемный расход по всей трубе получим интегрированием (5.6.11) по всем слоям:
