Расчет моментов инерции тела даже правильной формы, если ось не проходит через центр масс тела, затруднен. В этом случае удобно пользоваться теоремой Штейнера:
Момент инерции тела относительно произвольной оси z' равен сумме момента инерции относительно оси z , параллельной заданной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:
рис 3.5.1
Для доказательства через центр масс тела (т. С) проведем ось z , параллельную заданной оси z' (рис. 3.5.1). Расстояние между осями равно a . Выберем частицу тела массы mi , настояние от нее до осей z и z' указаны на рисунке.
Момент инерции тела относительно по определению
(3.3.1)
Из геометрических соображений:
(3.3.2)
Первое слагаемое в правой части дает момент инерции тела относительно z :
(3.3.3)
Поскольку a=const, второе слагаемое принимает вид (Ma2), где М - масса тела. В последнем слагаемом:
