Сравним длину стержня в инерциальных системах отсчета K и K' (рис.7.4.1). Предположим, что стержень, расположенный вдоль совпадающих осей x и x' покоится всистеме K'. Тогда определение его длины в этой системе не доставляет хлопот. Нужно приложить к стержню масштабную линейку и определить координату x'₁ одного конца стержня, а затем координату x'₂ другого конца. Разность координат даст длину стержня l₀ в системе K': l₀=x'₂-x'₁.

рис 7.4.1

Стержень покоится в системе K'. Относительно системы K он движется со скоростью v, равной относительной скорости систем V.

В системе K дело обстоит сложнее. Относительно этой системы стержень движется со скоростью v, равной скорости V, с которой система K' движется относительно системы K. (Обозначение V мы будем употреблять только применительно к относительной скорости систем отсчета.) Поскольку стержень движется, нужно произвести одновременный отсчет координат его концов x₁ и x₂ в некоторый момент времени t. Разность координат даст длину стержня в системе K: l=x₂-x₁

Для сопоставления длин l и l₀ нужно взять ту из формул преобразований Лоренца, которая связывает координаты x, x' и время t системы K, т. е. первую из формул (7.3.13). Подстановка в нее значений координат и времени приводит к выражениям

(7.4.1)