Одним из основных понятий механики является понятие материальной точки, что означает тело, обладающее массой, размерами которого можно пренебречь при рассмотрении его движения. Движение материальной точки — простейшая задача механики, которая позволит рассмотреть более сложные типы движений. Перемещение материальной точки происходит в пространстве и изменяется со временем. Реальное пространство трехмерно, и положение материальной точки в любой момент времени полностью определяется тремя числами — ее координатами в выбранной системе отсчета. Число независимых величин, задание которых необходимо для однозначного определения положения тела, называется числом его степеней свободы. В качестве системы координат выберем прямоугольную, или декартову, систему координат. Для описания движения точки, кроме системы координат, необходимо еще иметь устройство, с помощью которого можно измерять различные отрезки времени. Такое устройство назовем часами. Выбранная система координат и связанные с ней часы образуют систему отсчета. рис 1.1.1 Декартовы координаты X,Y,Z определяют в пространстве радиус-вектор z, острие которого описывает при его изменении со временем траекторию материальной точки. Длина траектории точки представляет собой величину пройденного пути S(t). Путь S(t)— скалярная величина. Наряду с величиной пройденного пути, перемещение точки характеризуется направлением, в котором она движется. Разность двух радиус-векторов, взятых в различные моменты времени, образует вектор перемещения точки (рис.1.1.1). Для того чтобы характеризовать, как быстро меняется положение точки в пространстве, пользуются понятием скорости. Под средней скоростью движения по траектории за конечное время t понимают отношение пройденного за это время конечного пути S ко времени: (1.1.1) Скорость движения точки по траектории — скалярная величина. Наряду с ней можно говорить о средней скорости перемещения точки. Эта скорость — величина, направленная вдоль вектора перемещения, (1.1.2)

Если моменты времени t₁, и t₂ бесконечно близки, то время t бесконечно мало и в этом случае обозначается через dt. За время dt точка проходит бесконечно малое расстояние dS. Их отношение образует мгновенную скорость точки

(1.1.3)

Производная радиус-вектора r по времени определяет мгновенную скорость перемещения точки.

(1.1.4)

Поскольку перемещение совпадает с бесконечно малым элементом траектории dr = dS, то вектор скорости направлен по касательной к траектории, а его величина:

(1.1.5)

На рис.1.1.2 показана зависимость пройденного пути S от времени t. Вектор скорости v(t) направлен по касательной к кривой S(t) в момент времени t.

рис 1.1.2

Из рис.1.1.2 видно, что угол наклона касательной к оси t равен

Интегрируя выражение (1.1.5) в интервале времени от t₀ до t, получим формулу, позволяющую вычислить путь, пройденный телом за время t-t₀ если известна зависимость от времени его скорости v(t)

(1.1.6)

Геометрический смысл этой формулы ясен из рис.1.1.3. По определению интеграла пройденный путь представляет собой площадь, ограниченную кривой v =v(t) в интервале от t₀ до t.

рис 1.1.3

В случае равномерного движения, когда скорость сохраняет свое постоянное значение во все время движения, v=const; отсюда следует выражение

(1.1.7)

где S₀ путь, пройденный к начальному времени t₀.

Производную скорости по времени, которая является второй производной по времени от радиус-вектора, называют ускорением точки:

(1.1.8)

Вектор ускорения а направлен вдоль вектора приращения скорости dv. Пусть а = const. Этот важный и часто встречаемый случай носит название равноускоренного или равнозамедленного (в зависимости от знака величины а) движения.

Проинтегрируем выражение (1.1.8) в пределах от t = 0 до t:

(1.1.9)

(1.1.10)

и используем следующие начальные условия:.

Таким образом, при равноускоренном движении

(1.1.11)

В частности, при одномерном движении, например вдоль оси X,