В реальных колебательных системах происходит диссипация энергии из-за действия силы трения. Если потери энергии не будут компенсироваться за счет внешних устройств, то колебания с течением времени будут затухать и через какое-то время прекратятся вообще. Затухающие колебания описываются уравнением:

(1.6.1)

где - квазиупругая сила (сила упругости), - сила трения.

Рассмотрим случай затухающих колебаний, когда на колеблющееся тело действует сила вязкого трения, пропорциональная скорости:

В этом случае уравнение (1.6.1) примет вид

(1.6.2)

Введем обозначения , и перепишем уравнение (1.6.2):

(1.6.3)

Полученное уравнение (1.6.3) описывает затухающие колебания в среде с вязким трением, где - коэффициент или показатель затухания.

Общая идея решения однородных линейных уравнений типа (1.6.3) заключается в следующем: в качестве функциональной зависимости надо выбрать такую, которая при дифференцировании по времени переходит в саму себя, то есть экспоненту: . Подставим ее в (1.6.3)

решением этого квадратного уравнения будет

В силу линейности уравнения (1.6.3) линейная комбинация любых его решений также является решением, то есть общее решение уравнения (1.6.3) будет

(1.6.4)

Рассмотрим частные случаи полученного решения:

1. в случае
   
   
   Тогда (1.6.4) примет вид
   
   
   Решение имеет комплексный вид. С помощью формулы Эйлера нетрудно показать, что общее решение будет иметь вид:
   
   

   (1.6.5)

   
   Это и есть уравнение затухающих колебаний величины S.
   - период затухающих колебаний, где - собственная частота колебательной системы. Выражение можно рассматривать как амплитуду затухающих колебаний:
   
   
   Длительность колебаний характеризуется временем затухания - это время, за которое амплитуда уменьшится в e раз.
   
   
   Быстрота затухания характеризуется декрементом затухания:
   
   
   где T - период, и значения амплитуд для моментов времени, отличающихся на период.
   - логарифмический декремент затухания, который используется для характеристики колебательной системы.
   
   
   Если за время амплитуда уменьшается в e раз, то система успевает совершить колебаний. То есть получаем, что обратен по величине числу колебаний, совершаемых за время затухания. "Качество" колебательной системы характеризуют безразмерным параметром Q, называемым добротностью:
   
   
   Рассмотрим случай .
   Запишем выражения для потенциальной и кинетической энергий колебательной системы используя (1.6.5):
   
   
   Первым слагаемым пренебрегают в силу .
   
   

   	(1.6.6)
   	(1.6.7)

   
   Полная энергия запишется в виде:
   
   

   (1.6.8)

2. рассмотрим случай, когда
   В этом случае корни характеристического уравнения кратные: . Период колебания обращается в , то есть движение перестает быть периодическим. При этом частота , то есть колебания отсутствуют. Общее решение, как нетрудно проверить подстановкой, имеет следующий вид:
   
   
   где А и С определяются из начальных условий. Возможный вид зависимости при разных начальных условиях изображен на рисунке 1.6.1.
   
   

   рис 1.6.1

   
   Их характерной особенностью является то, что они пересекают ось Ot не более одного раза, и возврат к равновесному состоянию у системы, выведенной из него, происходит за время порядка нескольких . Такой режим движения называется критическим.
3. когда
   В этом случае корни характеристического уравнения становятся вещественными и уравнение имеет вид:
   
   
   где и вещественные постоянные.
   Выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Данный режим движения называется апериодическим или закритическим.
   
   

   рис 1.6.2

Модели затухающих колебаний разных типов маятников. Одновременно все демонстрации запускать не стоит.