Рассмотрим колебательную систему, состоящую из точечного груза массой m и четырех связанных с ним пружин (рис 1.5.1.)

рис 1.5.1

Такая система обладает двумя степенями свободы. Будем считать колебания малыми, чтобы, во-первых, выполнялся закон Гука, и, во-вторых, при смещении вдоль направления x деформация пружин с жесткостью не приводили к сколько-нибудь заметному вкладу в возвращающую силу . Аналогично при смещении в перпендикулярном направлении y возвращающая сила . При таких условиях колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях происходят независимо друг от друга:

	(1.5.1)

Рассмотрим вначале движение груза, если (жесткость всех пружин одинакова). Чтобы получить траекторию движения, исключим из (1.5.1) текущее время. Для этого перепишем (1.5.1) в виде:

(1.5.2)

Умножим первое уравнение (1.5.2) на , а второе - на и вычтем второе уравнение из первого и возведем в квадрат, получим:

(1.5.3)

Теперь умножим первое уравнение (1.5.2) на , а второе - на , вычтем второе уравнение из первого и возведем в квадрат, получим:

(1.5.4)

Сложим полученные равенства (1.5.3) и (1.5.4):

(1.5.5)

Таким образом, в общем случае груз будет совершать периодические движения по эллиптической траектории. Направление движения вдоль траектории и ориентация эллипса относительно осей Ox и Oy зависят от начальной разности фаз .

Рассмотрим несколько частных случаев:

1. когда
   
   
   Результирующее колебание является гармоническим вдоль прямой
   
   
2. когда
   
   
3. когда
   
   
   Получили эллипс. Если a=b, то эллипс вырождается в окружность.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не совпадают, но являются кратными , где m и n - целые числа, то траектории движения представляют собой замкнутые кривые, называемые фигурами Лиссажу. Отношение частот колебаний равно отношению чисел точек касания фигуры Лиссажу к сторонам прямоугольника, в который она вписана.

Если кратность между частотами отсутствует, то траектории не являются замкнутыми и постепенно заполняют весь прямоугольник, напоминая нить в клубке.