Одним из распространенных способов поддержания незатухающих колебаний является непрерывное воздействие на колеблющуюся массу периодической силы (вынуждающей силы)
меняющейся во времени t, вообще говоря, произвольно в пределах периода длительностью Т.
Пусть такая внешняя сила меняется по гармоническому закону:
где - амплитуда вынуждающей сила, а - частота этой силы. В таком случае дифференциальное уравнение колебаний примет вид:
(1.7.1)
Здесь - коэффициент затухания и - собственная частота колебательной системы. Решением (1.7.1) является сумма решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
- общее решение однородного уравнения типа (1.6.3), где , и находятся из начальных условий.
Теперь необходимо найти частное решения уравнения (1.7.1). Это можно сделать методом комплексных амплитуд. Для этого в правой части (1.7.1) прибавим комплексно сопряженную функцию . В результате получим уравнение:
(1.7.2)
Будем искать частное решение в виде
(1.7.3)
где - комплексные числа.
Найдем производную первого и второго порядков:
Подставим полученные выражения в уравнение (1.7.2), получим:
(1.7.4)
Представим знаменатель (1.7.4) в показательной форме:
Представим теперь амплитуду в показательной форме:
(1.7.5)
Подставим (1.7.5) в (1.7.3), получим:
Выделим из полученного решения действительную часть, которая и будет являться частным решением уравнения (1.7.1).
Окончательное общее решение уравнения (1.7.1) будет:
(1.7.6)
рис 1.7.1
Из (1.7.6) видно, что колебания установятся лишь тогда, когда затухнут собственные колебания. Это произойдет по истечении времени