1.7. Вынужденные механические колебания.

Одним из распространенных способов поддержания незатухающих колебаний является непрерывное воздействие на колеблющуюся массу периодической силы (вынуждающей силы)


меняющейся во времени t, вообще говоря, произвольно в пределах периода длительностью Т.

Пусть такая внешняя сила меняется по гармоническому закону:


где - амплитуда вынуждающей сила, а - частота этой силы. В таком случае дифференциальное уравнение колебаний примет вид:

(1.7.1)

Здесь - коэффициент затухания и - собственная частота колебательной системы. Решением (1.7.1) является сумма решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

- общее решение однородного уравнения типа (1.6.3), где , и находятся из начальных условий.

Теперь необходимо найти частное решения уравнения (1.7.1). Это можно сделать методом комплексных амплитуд. Для этого в правой части (1.7.1) прибавим комплексно сопряженную функцию . В результате получим уравнение:

(1.7.2)


Будем искать частное решение в виде

(1.7.3)


где - комплексные числа.

Найдем производную первого и второго порядков:


Подставим полученные выражения в уравнение (1.7.2), получим:

(1.7.4)


Представим знаменатель (1.7.4) в показательной форме:


Представим теперь амплитуду в показательной форме:

(1.7.5)

Подставим (1.7.5) в (1.7.3), получим:


Выделим из полученного решения действительную часть, которая и будет являться частным решением уравнения (1.7.1).


Окончательное общее решение уравнения (1.7.1) будет:

(1.7.6)




рис 1.7.1

Из (1.7.6) видно, что колебания установятся лишь тогда, когда затухнут собственные колебания. Это произойдет по истечении времени

PruzhM%28ZV%29.swf
рис 1.7.2 (динамический)
Последнее изменение: Суббота, 2 января 2016, 21:09