1.7. Вынужденные механические колебания.
Одним из распространенных способов поддержания незатухающих колебаний является непрерывное воздействие на колеблющуюся массу периодической силы (вынуждающей силы)
Пусть такая внешняя сила меняется по гармоническому закону:
Здесь - коэффициент затухания и - собственная частота колебательной системы. Решением (1.7.1) является сумма решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. - общее решение однородного уравнения типа (1.6.3), где , и находятся из начальных условий. Теперь необходимо найти частное решения уравнения (1.7.1). Это можно сделать методом комплексных амплитуд. Для этого в правой части (1.7.1) прибавим комплексно сопряженную функцию . В результате получим уравнение:
Найдем производную первого и второго порядков:
Подставим (1.7.5) в (1.7.3), получим:
Из (1.7.6) видно, что колебания установятся лишь тогда, когда затухнут собственные колебания. Это произойдет по истечении времени |