Особым случаем интерференции являются стоячие волны. Стоячие волны

Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две бегущие синусоидальные волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси X в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно уравнение волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси X, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид:

(3.4.1)

Сложив эти уравнения и учитывая, что (волновое число), получим уравнение стоячей волны:

(3.4.2)

Из уравнения стоячей волны (3.4.2) вытекает, что в каждой точке стоячей волны происходит колебание той же частоты с амплитудой

зависящей от координаты x рассматриваемой точки. В точках среды, где , () амплитуда стоячей волны достигает максимального значения, равного 2А. В точках среды, где , () амплитуда стоячей волны обращается в ноль. Точки, в которых амплитуда стоячей волны максимальна, называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда стоячей волны равна нулю, называются узлами стоячей волны. Координаты пучностей и узлов:

,	(3.4.3)
,	(3.4.4)

Из формул (3.4.3) и (3.4.4) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны . Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно .

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами. При переходе через узел множитель меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличаются на , то есть точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе.

Образование стоячих волн наблюдают обычно при интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и образует стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае получается узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения получается пучность, если более плотная - узел. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний противоположных направлений, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменение фазы не происходит, и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами - получается пучность.

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.