Если колебания точек среды гармонические, то волна соответственно тоже гармоническая. В отличие от графика колебаний, дающего зависимость одной частицы от времени, график волны дает смещение всех частичек среды от расстояния до источника.
Кратчайшее расстояние между частицами среды, колеблющимися в одинаковых фазах, называется длиной волны, или это расстояние, на которое фаза распространяется за период.
|
(3.2.1) |
где , , - есть фазовая скорость, период и частота волны соответственно.
Геометрическое место точек, до которых доходит колебание в момент времени t, называется фронтом волны.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фазах, называется волновой поверхностью.
Волновой фронт - частный случай волновой поверхности. Если среда изотропна, то колебания распространяются во все стороны одинаково.
Для решения ряда задач необходим метод построения волнового фронта в момент времени , если известен фронт к моменту времени t. Эту задачу сформулировал Гюйгенс. Он в 1690 году сформулировал принцип, получивший впоследствии название принципа Гюйгенса: Каждая точка среды, до которой доходит возмущение, сама является источником вторичных волн.
Принцип Гюйгенса - это рецепт построения волновых поверхностей в последующие моменты времени.
Если за начало отсчета выбрать место, где находится источник волн, который колеблется по закону
|
(3.2.2) |
то смещение точки, которая находится на расстоянии х, запишется в виде:
|
(3.2.3) |
Это уравнение плоской бегущей волны. Из (3.2.3) видно, что процесс распространения периодический. В общем случае уравнение бегущей волны запишется следующим образом:
|
(3.2.4) |
где - начальная фаза волны. Будем считать также, что A = const, так как в процессе распространения волны энергия не растрачивается. Величину называют волновым вектором, где - единичный вектор нормали к волновой поверхности. Он показывает направление распространения волны. Модуль этого вектора , называется волновым числом. С учетом этого, (3.2.4) можно будет записать в виде:
|
(3.2.5) |
Пользуясь формулой Эйлера, (3.2.5) можно записать через экспоненту
|
(3.2.6) |
В выражении (3.2.6) физический смысл имеет только действительная часть. Если , то, дифференцируя по времени, мы получим следующее выражение: - фазовая скорость волны.
Для сферических волн смещение от времени получается равным
|
(3.2.7) |
Из (3.2.7) следует, что даже в отсутствии поглощающей среды амплитуда уменьшается обратно пропорционально расстоянию до точки наблюдателя.
Рассмотрим две точки среды, лежащие на одной прямой, вдоль которой распространяется продольная волна. Они находятся на расстоянии х друг от друга. Тогда величина, равная - должна показывать относительную деформацию. Если , то происходит деформация растяжения, а если , то происходит сжатие.
|
|
(3.2.8) |
Тогда относительная деформация
|
|
(3.2.9) |
Из (3.2.9) следует, что скорость деформации среды и скорость распространения волны происходят синфазно, то есть где деформация максимальна, там и скорость максимальна. Если взять вторые производные от по х или t, мы получим:
|
(3.2.10) |
|
(3.2.11) |
Сравнивая (3.2.10) и (3.2.11), мы получим:
|
(3.2.12) |
(3.2.12) есть волновое уравнение для плоской волны. В наиболее общем случае оно запишется в виде:
Введя обозначение (оператор Лапласа), можем записать
Полученное уравнение есть уравнение Даламбера.
|