Лабораторная работа № 6

Цель работы: определить ускорение свободного падения с помощью маятников, определить приведенную длину оборотного маятника.

Приборы и принадлежности: прибор ФП-1А, рулетка, секундомер.

Краткая теория

Если система, многократно отклоняясь от своего положения равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему, то такой процесс движения системы называется колебательным движением. Примерами колебательного движения могут служить: движение поршня двигателей, годичное изменение температуры воздуха, биение сердца, тепловое движение ионов кристаллической решетки и т.п. Колебания называются периодическими, если система за равные промежутки времени возвращается в положение равновесия. Простейшее периодическое колебание, при котором смещение x меняется со временем по закону синуса или косинуса, называется гармоническим колебанием.

Гармонические колебания совершают также маятники под действием силы тяжести, если углы отклонения от положения равновесия малы. Маятники бывают простые (математический маятник) и сложные (физический маятник).

Твердое тело произвольной формы, укрепленное на горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести, представляет собой физический маятник.

При отклонении физического маятника от положения равновесия на малый угол a (рис. 1) на него будет действовать момент силы тяжести относительно оси вращения. Под действием этого момента маятник приходит в колебательное движение с угловым ускорением: .

Если обозначить расстояние от оси вращения до центра тяжести через L, то момент силы тяжести:

Учитывая, что угол a мал, можно считать , тогда

По второму закону механики для вращательного движения (при колебаниях маятника центр тяжести движется по дуге окружности радиуса L), будем иметь:

Подставив в уравнение (3) значение М из уравнения (2) и решив его относительно углового ускорения, получим:

Уравнение (4) отличается от уравнения (1) только тем, что в него входят угловые величины вместо линейных. Очевидно, что:

Таким образом, выражение для периода колебания физического маятника будет иметь вид:

Отсюда момент инерции физического маятника

Частным случаем физического маятника является математический маятник: тело малых размеров (материальная точка), подвешенное на длинной нити, растяжением и весом которой можно пренебречь. Для математического маятника из выражения (5) с учетом значения момента инерции относительно точки подвеса (J=mL²) период колебаний будет равен:

.

Если определить период колебания математического маятника T₁ при длине L₁, а затем удлинить нить и снова определить период колебания T₂ при длине L₂ , то

откуда

Длина математического маятника, имеющего тот же период колебания, что и данный физический, называется приведенной длиной L_п данного физического маятника.

Для разных научных и теоретических целей необходимо бывает знать ускорение силы тяжести с точностью до 0,001 см/с², т.е. с относительной ошибкой порядка 0,000001. Этими измерениями занимается специальный раздел геофизики, называемый гравиметрией - наукой об измерении силы тяжести. Для обеспечения указанной точности ни один реальный маятник не может рассматриваться как математический. Для вычисления g надо воспользоваться физическим маятником, измеряя с высокой точностью период его колебаний и приведенную длину L_п. Однако расчет (или измерение) момента инерции I физического маятника даже самой простейшей формы не может быть произведен с точностью, обеспечивающей достаточную точность расчета приведенной длины L_п. Поэтому ускорение свободного падения g измеряется особым оборотным маятником, обладающим следующим свойством: если перенести точку подвеса О физического маятника в центр качания, то прежняя точка подвеса станет центром качания.

Простейший оборотный маятник состоит из стержня с двумя чечевицами Р и Q (рис. 2) и двух упоров (призм) К и В, на которых подвешивается маятник. В процессе измерения находят такое положение чечевицы Р, при котором маятник, подвешенный на одном и на другом упоре колеблется с одинаковым периодом. Тогда расстояние между упорами (призмами) как раз равно приведенной длине маятника, можно вычислить ускорение свободного падения:

Ход работы

Задание 1. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника.

1.   Закрепите математический маятник на определенной длине L_i

2.   Приведя математический маятник в колебание, измерьте время t_i для n полных колебаний. Измерение проведите не менее трех раз.

3.   Определите период колебаний по формуле: .

4.   Повторите пп.1-3 для длины L₂.

5.   Результаты измерений и вычислений занесите в табл. 1.

6.   По выражению (8) вычислите g.

7.   Оцените погрешности измерений.

Таблица 1.

Задание 2. Определение приведенной длины оборотного маятника.

1. Снимите физический маятник с кронштейна и, с помощью гаечного ключа ослабив крепление подвижной чечевицы Р (рис.2), переместите ее в ближнее к точке подвеса К положению (на нуль шкалы).

2. Подвесьте физический маятник на призму К и отклоните на небольшой угол от положения равновесия (5 - 8).

3. Измерьте время 10-20 полных колебаний t.

4. Определите период колебаний по формуле: .

5. Сняв маятник, установите подвижную чечевицу Р в новое положение (передвигая на 3 см) и снова определите период колебаний, подвесив на ту же опорную призму К.

6. Повторите п.5 5-7 раз, передвигая чечевицу Р до крайнего положения.

7. Повторите аналогичные измерения для определения периода колебаний Т на призме В.

8. Результаты измерений занесите в таблицу 2, обозначив координату подвижной чечевицы буквой х.

9. По результатам измерений построить график зависимости T₁=f(x) и T₂=f(x). Определите приведенную длину оборотного маятника. (Точка пересечения кривых показывает координату x_o подвижной чечевицы «Р», при котором периоды колебаний на призме «К» и на призме «В» будут равны т.е. T₁=T₂, а приведенная длина оборотного маятника будет равна расстоянию между остриями призмы «К» и призмы «В»).

Таблица 2.

Примечание: Для того чтобы обеспечить одинаковую относительную погрешность при определении периода, число полных колебаний n во всех измерениях должно быть одинаковым.

Задание 3. Определение ускорения свободного падения с помощью физического маятника.

1. Закрепив подвижную чечевицу «Р» в точке с координатой х подвесить маятник на призму «К».

2. Отклонив на небольшой угол определите время n полных колебаний и период колебаний T_ср.

3. Зная приведенную длину L_п и период колебаний T_ср, по формуле (9) определите ускорение свободного падения g.

4. Найти погрешность и записать окончательный результат как g=g+Dg.

Контрольные вопросы

1. Какие движения называются колебательными? Какие колебания называются гармоническими?

2. Перечислите физические величины, характеризующие гармоническое колебательное движение.

3. Какие колебательные системы называются математическими и физическими маятниками?

4. Что называют приведенной длиной физического маятника? Центром качания?

5. Почему период колебания математического маятника не зависит от массы, а период физического маятника зависит от момента инерции?

Рекомендательная литература

1.  Александров Н.В., Яшкин А.Я. Курс физики. Механика: Учеб. пособие для физ.-мат. фак-в пед. ин-в. - М.: Просвещение, 1978. - 456 с.

2.  Архангельский А.З. Курс физики. Механика: Учеб. пособие для пед. институтов. – М.: Просвещение, 1975. – с. 327-335.

3.  Савельев И.В. Курс общей физики. Электричество. – В 2-х т. – М.: Наука, 1970. – Т.II. – с. 182-188.

4.  Физический практикум: Учеб. пособие для студентов физических специальностей / Под ред. Л.Л. Гольдина. М.: Наука, 1979. – С.95-105.