Лабораторная работа № 16

Цель работы: 1. Определение ускорения силы тяжести с помощью математического маятника. 2. Изучение зависимости между периодом колебаний и моментом инерции на примере физического маятника. 3. Изучение колебаний связанных систем.

Приборы и принадлежности: система маятников; штангенциркуль; рулетка; секундомер.

Краткая Теория

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие периодические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний представляет особый интерес по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническим, и, во-вторых, периодические процессы любой формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Примером гармонических колебаний может служить колебательное движение проекции точки, равномерно движущейся по окружности.

Пусть точка В равномерно движется по окружности радиуса  с угловой скоростью  (рис.1), тогда уравнение гармонического колебательного движения проекции этой точки на ось X будет иметь следующий вид:

Здесь  - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; А -амплитуда колебания, равная по величине радиусу окружности; Т - период колебания; - круговая (циклическая) частота колеблющейся точки, равная , где  число колебаний в секунду,  - фаза колебания. Фаза колебания определяет положение колеблющейся точки в данный момент времени.

Рис. 1.

В более общем случае смешение колеблющейся точки от положения равновесия записывается в виде

Здесь фаза состоит из переменной части  и постоянной части , которая называется начальной фазой колебания.

Скорость точки  при гармоническом колебании равна:

Ускорение  при гармоническом колебании точки равно

Знак минус говорит о том, что вектор ускорения направлен против вектора смешения.

Гармоническое колебательное движение возникает под действием упругой или квазиупругой силы. Примером возникновения колебаний под действием упругой силы может служить идеальный пружинный маятник, у которого пружина абсолютно упруга и не имеет массы, т.е. вся масса маятника сосредоточена в его грузе (рис. 2). Груз совершает колебания только под действием упругой силы, возвращающий маятник в положение равновесия.

Если рассмотрим колебания какого-либо тела, подвешенного на нерастяжимой нити (рис. 3), то сила, вызывающая колебания, не является упругой (пo своей природе). В данном случае колебания происходят под действием одной из составляющих силы тяжести , которая возвращает маятник к положению равновесия. Силы, не упругие по своей природе, но аналогичные им по виду зависимости от смещения, называются квазиупругими (подобными упругим). Примером гармонических колебаний под действием квазиупругих сил могут служить колебания математического и физического маятников.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. С достаточной точностью можно считать, математическим маятником тяжелый металлический шар, свободно подвешенный с помощью длинной тонкой проволоки к кронштейну.

Пусть имеем тело массой , подвешенное на расстоянии  от оси  (рис. 3). Под действием составляющей  математический маятник будет совершать колебания. Эта сила называется квазиупругой. Составляющая  никакого движения не вызывает, ибо уравновешивается силой реакции .

Если угол  мал, то синус можно заменить самим углом, тогда:

Возвращающий момент силы

Знак минус показывает, что действующая сила направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Согласно основному закону динамики вращательного движения возвращающий момент

где  - момент инерции материальной точки, находящейся на расстоянии  от оси О;  - ускорение, равное второй производной смещения по времени, т.е. . Тогда

Приравняв уравнения (5) и (6), получают:

Введем обозначение , тогда придем к уравнению

где  - собственная циклическая частота колебаний математического маятника.

Решение уравнения (7) имеет вид

Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону. Для периода колебаний математического маятника имеем

Пользуясь формулой (9) можно рассчитать ускорение силы тяжести .

ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания в поле силы тяжести вокруг любой горизонтальной оси, не проходящей через центр инерции (рис. 4).

Пусть имеется физический маятник весом Р и с моментом инерции . Если отклонить маятник на небольшой угол  от положения равновесия, то он будет совершать гармонические колебания под действием ква-зиупругой силы: .

Составляющая  уравновешивается реакцией опоры. Возвращающий момент силы  равен:

где  - расстояние от точки подвеса до центра инерции тела,

Согласно основному закону динамики вращательного движения

Из уравнений (10) и (11) получают

Знак «минус» поставлен потому, что квазиупругая силе  всегда направлена в сторону, противоположную смещению маятника:

Дифференциальное уравнение колебаний физического маятника записывается в виде:

Сравнивая уравнение (12) с уравнением (8) колебаний под действием упругих сил, получают для циклической частоты

откуда период колебаний физического маятника

где  приведенная длина физического маятника.

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом данного физического маятника.

Колебания тел под действием упругой или квазиупругой вид называются свободными или собственными колебаниями.

СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

В технике наряду со свободными колебаниями часто встречаются связанные колебания. Совокупность двух или нескольких тел (маятников), каким либо образом связанных между собой, представляет связанную систему. Простейшим примером связанной системы являются два физических маятника с массами  и , соединенные жесткой пружиной П (рис. 5).

Система двух маятников является системой с двумя степенями свободы. Каждый маятник массой , взятий в отдельности, находится в колебательном движении с собственной частотой колебаний, которая называется парциальной частотой. При наличии пружины колебания одного маятника возбудят через связь колебания второго. При любом способе возбуждения собственные колебания связанных маятников представляют результат сложения двух гармонических колебаний. Собственные колебания связанных систем  и  называются нормальными частотами колебания. Нормальные частоты зависят от физических параметров маятников: длины, массы грузов, жесткости пружины и места ее прикрепления к маятнику.

В связанных системах наиболее часто встречаются синфазные и антифазные колебания. Синфазные колебания можно наблюдать, если отклонить оба маятника на один тот же угол и одновременно отпустить.

Антифазные колебания наблюдаются при отклонении обоих маятников на одинаковые расстояния, но в разные стороны.

В связанных системах происходит передача энергии от одного тела к другому: в начальный момент энергией обладает только первый маятник, при колебаниях массы  потенциальная энергия пружин переходит в кинетическую энергию массы , первая масса постепенно начинает раскачивать вторую. Амплитуда колебаний тела с массой  убывает, а второго () - возрастает; через некоторый промежуток времени все происходит наоборот. Скорость передачи энергии зависит от различия частот нормальных колебаний ( и ): чей больше их разность, тем быстрее происходит передача энергии.

Колебания в связанных системах при наличии трения становятся затухавшими.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Установка (рис. 6) состоит из бифилярного подвеса с математическим маятником и штатива, на котором подвешены два физических маятника, связанных пружиной. Пружина связи легко снимается. Цилиндрические грузы массой  и  могут легко перемещаться вдоль стержней. Массы цилиндров указаны на установке.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Задание 1. Определение ускорения силы тяжести.

1.   Измеряют длину математического маятника .

2.   Отклоняют маятник на небольшой угол (около 5-6°) относительно положения равновесия и отпускают шарик, предоставив ему свободно колебаться. В момент наибольшего отклонения маятника пускают в ход секундомер и отсчитывают время , в течение которого маятник совершит 20-30 () колебаний. Измерение времени производится три раза и вычисляют .

3. По результатам измерений времени  (20-30) полных колебаний рассчитывают период Т колебаний математического маятника по формуле .

Рис. 6

4. Все результаты измерений заносят в таблицу 1.

5. Вычисляют ускорение силы тяжести  по формуле .

6. Вычисляют абсолютную и относительную погрешности определения  и результат записывают в виде  м/с².

Таблица 1.

Задание 2. Изучение физического маятника.

1.   Закрепляют груз (цилиндр) физического маятника в самое крайнее верхнее положение на стержне.

2.   Отклоняют маятник относительно положения равновесия на небольшой угол (до 10°) и отпускают его.

3.   Измеряют три раза время  20-30 () полных колебаний маятника и вычисляют период колебаний по формуле:

4.  Перемещают цилиндр маятника в среднее положение, а затем в самое крайнее нижнее положение и аналогичным образом определяют период колебаний  и .

5.  Вычисляют для каждого положения цилиндра маятника расстояние  от точки подвеса до центра тяжести маятника:

где  - длина стержня;  - расстояние от оси подвеса до центра тяжести цилиндра.

6.  Вычисляют момент инерции физического маятника по формуле:

где  - масса цилиндра маятника,  - масса стержня.

7, Полученный опытный результат момента инерции сравнивают с теоретическим значением, определяемым уравнением Штейнера

где  - радиус цилиндра маятника.

8. Все результаты измерение и вычислений заносят в таблицу 2.

Таблица 2.

9. По результатам вычислений строят график зависимости момента инерции физического маятника от положения цилиндра маятника

10. Рассчитывают абсолютную и относительную погрешность определения  и результат записывают в виде:

Задание 3. Изучение связанных систем

1.   Устанавливают цилиндры двух физических маятников на одинаковом расстоянии от точки подвеса.

Соединяют два физических маятника пружиной с коэффициентом жесткости  и определяют частоту синфазных и антифазных колебаний .

Для получения синфазных колебаний отводят оба маятника от положения равновесия в одну сторону на одинаковый угол (6 - 8°) и определяют время 20-30 колебаний. Антифазные колебания получают, отводя маятники от положения равновесия в разные стороны на одинаковый угол.

3. Результаты измерений заносят в таблицу 3.

Таблица 3.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.     Какие колебания называются гармоническими?

2.     Какая разница между упругой и квазиупругой силами?

3.   Что такое период, чаете та и фаза колебания?

4.   Какой маятник называется математическим?

5.   Что такое физический маятник?

6.   Как можно рассчитать период колебания физического маятника?

7.   Как определить приведенную длину физического маятника?

8.   Какие колебания называются связанными?

9.   Какие колебания называются синфазными, какие антифазными?

Рекомендуемая литература

1.  Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.I. -М.: Наука, 1974, с. 205-210.

2.  Савельев И.В. Курс общей физики, т.1. -М.: Наука, 1982, с. 196-201.

3.  Хайкин С.Э. Физические основы механики. -M.: Наука, 1971, с. I85-191.

4.  Стрелков С.П. Механика. -M.: Наука, 1965, с. 198-205.

5.  Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики. Высшая школа, 1970, с. 80-91.