Лабораторная работа № 10

Цель работы: Экспериментальная проверка закономерностей движения математического и физического маятника.

Приборы и принадлежности: установка лабораторная «Маятник универсальный ФМ 13», секундомер (электронный), линейка.

Краткая теория.

Математический маятник

Математическим маятником обычно называют тело малых размеров (материальную точку), подвешенное к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити и совершающее движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести (рис. 1). В полярных координатах уравнение движения такой системы имеет вид:

, или , где .

Для малых углов отклонения маятника, при которых , оно сводится к уравнению гармонических колебаний

Решение данного уравнения может быть записано в виде

где А - амплитуда,  - начальная фаза колебания. Таким образом, при малых амплитудах математический маятник совершает гармонические колебания с частотой  и периодом .

Если определить период колебания математического маятника T₁ при длине , а затем удлинить нить и снова определить период колебания T₂ при длине , то

; ; ,

откуда

Схема установки показана на рис. 2. В качестве математического маятника используется металлический шар 1, подвешенный на двух капроновых нитях к кронштейну 2. На этом же кронштейне находится также ролик 3, позволяющий изменять длину подвески. На нижнем кронштейне укреплен фотодатчик 4. Расстояние между кронштейнами определяется по нанесенной на штатив шкале 5.

Рис. 2. Схема установки

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Задание 1. Определение свободного падения

при помощи математического маятника.

1.  Установить нижний кронштейн с фотодатчиком 4 в крайнее нижнее положение шкалы 5 так, чтобы верхняя плоскость кронштейна совпала с одной из рисок шкалы. Установить верхний кронштейн таким образом, чтобы шарик 1 математического маятника оказался в рабочей зоне фото датчика. Вращая ролик 3, добиться такого положения шарика, при котором его центральная риска будет совпадать по высоте с риской на фотодатчике. По шкале на вертикальной стойке определить длину математического маятника .

2.  Привести математический маятник в колебательное движение, отклонив металлический шарик на угол 5-6 градусов, после чего нажать на кнопку СБРОС на блоке. По показанию таймера определить значение времени 10  20 колебаний маятника. Определить среднее значение периода колебаний маятника по формуле , где  время колебаний, N - число колебаний.

3.      Передвинуть вверх кронштейн с фотодатчиком на два деления шкалы вертикальной стойки. Вращая ролик 3, добиться такого положения шарика, при котором его центральная риска будет совпадать по высоте с риской на фотодатчике. По шкале вертикальной стойки определить длину математического маятника . Повторить эксперимент по п. 2.

4.      Результаты измерений и вычислений занесите в табл. 1.

Таблица 1

5.                     По выражению (3) вычислите .

6.                     Сравнивая теоретическое и экспериментальное значения ускорения свободного падения, определить относительную погрешность по формуле .

Краткая теория. Физический маятник

        Физическим маятником называется твердое тело, имеющее возможность совершать колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси. Можно показать, что период малых свободных колебаний физического маятника определяется соотношением

где  - ускорение свободного падения, т - масса маятника,  - момент инерции маятника относительно оси подвеса,  - расстояние от оси подвеса до центра инерции маятника.

В частности, для математического маятника, масса которого сосредоточена в центре инерции, имеем . Тогда из равенства (4) получаем

Соотношение (4) удобно преобразовать, используя теорему Штейнера

где  - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр инерции параллельно оси подвеса. Подставив равенство (6) в (4), находим

Представляет интерес анализ зависимости периода Т колебаний физического маятника от величины . В предельном случае больших значений  соотношение (7) переходит в (5), т.е. получаем математический маятник

При малых  маятник близок к положению безразличного равновесия. В этом случае из соотношения (4) получаем

Примерный вид графика зависимости  представлен на рис. 3. Асимптотическое поведение функции при  и  описывается выражениями (8) и (9). Можно показать, что при  функция  имеет минимум.

        Рассмотрим возможность определения с помощью физического маятника ускорения свободного падения . Входящую в формулу (7) величину , которую трудно найти из опыта, можно исключить, измеряя период колебаний при двух разных значениях . Записав равенство (7) для  и , получим систему уравнений

Рис. 3. Примерный вид графика зависимости

        Отсюда находим

На практике трудно точно определить положение центра инерции маятника, т.е. измерить , и . Эту трудность можно обойти, если взять такие расстояния  и , чтобы соответствующие периоды были равны (см. рис. 3), т.е. выполнялось условие . Тогда, полагая , из равенства (11) получаем

При этом если оси расположены по разные стороны центра инерции, то сумма  есть просто расстояние  между осями, которое легко измерить с высокой точностью.

Рис. 4. Схема оборотного маятника

Итак, если наблюдается равенство периодов колебаний физического маятника относительно двух осей, находящихся по обе стороны центра инерции и на разном расстоянии от него, то величину  можно найти из соотношения

где  - расстояние между осями – приведенная длина физического маятника;  - общий период колебаний.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В работе используется физический маятник, называемый оборотным. Схематически он изображен на рис. 4. Основной частью маятника является металлический стержень 1. Осями подвеса служат ребра двух призм 2, закрепленных вблизи концов стержня. В рабочем положении призмы устанавливаются в V -образные опоры штатива. Смещение центра инерции, необходимое для изменения расстояния  и  обеспечивается перемещением массивного груза 3, находящегося у конца стержня. Положение фиксированного груза 4 подобрано так, чтобы с помощью регулировочного груза можно было добиться равенства  и , в прямом и обратном положениях маятника.

Для более точного измерения величины  в работе исследуется зависимость  и  от положения  регулировочного груза, которое определяется по специальной шкале. Поскольку расстояние  между осями фиксировано, то при смещении груза изменение  и  будет одинаково по величине, но противоположно по знаку. Как видно из рис. 5, это приведет к одинаковому по знаку изменению периодов  и . Однако при достаточной асимметрии в расположении центра инерции зависимость  в обратном положении маятника будет более крутой, чем в прямом.

Рис. 5. Графики соответствующих зависимостей ,

Таким образом, графики зависимостей  и  для прямого и обратного положений маятника будут иметь вид, изображенный на рис. 4. В результате значение  можно найти как ординату точки пересечения соответствующих кривых.

        Период колебаний маятника можно определить по формуле

где  - время, за которое совершается полное число N колебаний.

При повторных измерениях удобно регистрировать время  одного и того же числа колебаний N. Тогда нет необходимости сразу переходить к величине Т. Практически удобнее исследовать зависимости  для прямого и обратного положений маятника. Точка пересечения соответствующих графиков даст величину . Тогда с учетом выражений (13), (14) получаем для расчета ускорения свободного падения соотношение

Вследствие погрешностей измерений, экспериментальные точки на графике  могут не находиться на плавной кривой, предсказываемой теорией (см. рис. 5). Поэтому при обработке результатов измерений кривые  и  следует провести приближенно, стремясь минимизировать их средние отклонения от полученных из опыта точек.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание 2. Определение приведенной длины физического маятника.

1. При подготовке к выполнению работы следует установить стойку строго вертикально. Нижний конец стержня должен свободно проходить между окнами фотодатчика. Установить маятник так, чтобы регулировочный груз находился вплотную с призмой.

Внимание! Амплитуда колебаний должна составлять около 10 градусов.

Измерить время  для N = 10-15 полных колебаний маятника. Запуск и остановка секундомера осуществляется фотоэлектрическим датчиком. При нажатии на клавишу «ПУСК» начинается отсчет времени от момента прохождения маятником положения равновесия. При нажатии клавиши «СТОП» секундомер фиксирует длительность  целого числа колебаний на момент ближайшего во времени прохождения маятником положения равновесия. Число колебаний фиксируется специальным индикатором. Записать значения , N и положение  груза.

2.   Перевернуть маятник и повторить задание п. 1. Определить время .

3.   Повторить опыт при четырех - пяти различных значениях , перемещая груз каждый раз на 0,5 см. Для повышения точности измерения при каждом  повторить два - три раза.

4.    Заполнить таблицу 2.

Таблица 2

        5. Построить графики зависимостей  и  для прямого и обратного положений маятника. Определить положение  (абсцисса точки пересечения кривых). В этом положении груза периоды колебаний прямого и обратного маятника одинаковы, тогда расстояние между ребрами призмы будут являться приведенной длиной данного физического маятникаю

        6. Измерить приведенную длину - расстояние  между ребрами призмы, служащими осями подвеса маятника.

Задание 3. Определение свободного падения

при помощи физического маятника.

1.          Закрепите груз в положении , определенном во 2-м задании и подвесьте маятник на призму.

2.          Отклонив маятник на небольшой угол определите время  полных колебаний и период колебаний .

3.          Зная приведенную длину  и период колебаний , по формуле 15 определите ускорение свободного падения .

4.                     Установите длину математического маятника равную приведенной длине физического маятника , измерьте период колебаний и сделайте вывод.

5.          Заполните таблицу 3.

Таблица 3

6. Убедитесь в совпадении периодов колебаний полученных физического и математического маятников.

7. Найти погрешность и записать окончательный результат как .

Контрольные вопросы

1.                              Что называется математическим маятником? Что такое период колебания маятника? Как определяется его период колебаний математического маятника?

2.              Почему при нахождении ускорения свободного падения измеряют время не одного, а нескольких колебаний?

3.              Записать уравнение движения математического маятника в дифференциальной форме?

4.              Как математически определяется возвращающая сила? Что означает знак «-» в уравнении движения математического маятника в дифференциальной форме?

5.                              В чем различие между весом и силой тяжести, действующей на тело?

6.              В каких случаях тело находится в состоянии невесомости? В чем состоит состояние невесомости?

7.              Какие колебательные системы называются физическим маятником? Как определяется его период колебаний?

8.                              Что называют приведенной длиной физического маятника и центром качания?

9.              Почему период колебания математического маятника не зависит от массы, а период колебания физического маятника зависит от момента инерции?

Рекомендательная литература

1.                                      Александров Н.В., Яшкин А.Я. Курс физики. Механика: Учеб. пособие для студентов заочников физико-математических факультетов пед. институтов. – М.: Просвещение, 1978. – с.391-399.

2.                                      Архангельский А.З. Курс физики. Механика: Учеб. пособие для пед. институтов. – М.: Просвещение, 1975. – с. 348-368.

3.                                      Савельев И.Е. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. – В 2-х т. – М.: Наука, 1977. – Т.I. – C. 182-188.

4.                                      Физический практикум: Учеб. пособие для студентов физических специальностей/Под ред. Л.Л. Гольдина. М.: Наука, 1979. – С.95-105.