Электричество и магнетизм

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774 – 1862) и Ф. Саваром (1791 – 1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био–Савара–Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке А (рис. 43.1) индукцию поля , записывается в виде

(43.1)

где – вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током,– радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, r – модуль радиуса-вектора , k – коэффициент пропорциональности:

рис 43.1

Вектор направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через и точку, в которой вычисляется поле, причем так, что вращение вокруг в направлении связано с правилом правого винта. Модуль определяется выражением

(43.2)

где – угол между векторами и .

Для магнитного поля также справедлив принцип суперпозиции:

(43.3)

т.е. магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности.

Интегрирование соотношения (43.2), применяемого к проводникам определенной конфигурации, дает частные случаи интегральной формы закона Био–Савара–Лапласа:

1. Магнитное поле прямого тока бесконечной длины (рис.43.2).

рис 43.2

Необходимо определить поле в точке на расстоянии а от проводника. Разобьем проводник на элементарные участки длиной dl.

В произвольной точке, удаленной от оси проводника на расстояние а, векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол (угол между векторами и ,выразив через него все остальные величины. Из рис.43.2 следует, что

Подставив эти выражения в (43.2), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна

(43.3)

Так как угол для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от до то, согласно (43.3) и (43.4),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

(43.5)

Зная магнитное поле, создаваемое каким-либо проводом с током, можно вычислить и силу, действующую на другой провод с током в этом поле, т.е. найти силу взаимодействия двух токов.

Рассмотрим два параллельных тока и (направления токов указаны на рис. 43.3), находящихся на расстоянии а один от другого. Пусть длина каждого проводника равна l, тогда, поскольку каждый из проводников с током находится в поле другого проводника, к ним можно применить формулу Ампера (41.4) Сила, с которой первый ток действует на второй, будет

(43.6)

Ток создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора определяется правилом правого винта, его модуль по формуле (43.5) равен

Направление силы, с которой поле действует на второй ток, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке.

рис 43.3

Модуль силы, согласно (43.6), с учетом того, что угол между элементами тока и вектором прямой, и учитывая значение для , равен

(43.7)

Рассуждая аналогично, можно показать магнитное поле тока действует на элемент первого проводника с током с силой ,равной по модулю

(43.8)

Сила направлена в противоположную сторону, и сравнение (43.7) и (43.8) показывает, что
т. е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой

(43.9)

Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая формулой (43.9).

Модель 43.1 Магнитное поле прямого тока Для взаимодействия прямых токов Ампером установлены следующие законы: I закон: параллельные токи одного направления притягиваются. II закон: параллельные токи противоположных направлений отталкиваются. III закон: непараллельные токи стремятся стать параллельными одного направления. На основании формулы (43.9) можно дать определение единицы силы тока – ампера. Положив в (43.9) ==1A, а = 1м. Тогда сила взаимодействия токов, приходящая на единицу длины проводника Следовательно, ампер – это сила такого постоянного тока, который проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызывал бы между этими проводниками силу, равную на каждый метр длины проводника. 2. Магнитное поле кругового проводника с током (рис.43.4). Рассмотрим магнитное поле в центре кругового тока. рис 43.4 Разбиваем проводник на элементарные участки диной dl. Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления – вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиус-вектору ( ) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (43.2), Тогда Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током Теперь найдем магнитное поле в некоторой точке, находящейся на оси кругового тока на расстоянии от его центра (рис.43.5). Как видно из рисунка, , следовательно, по величине равно При этом составляет с осью кругового тока угол . Заметим, что любому элементу dl отвечает диаметрально противоположный элемент , который дает такую же составляющую на ось кругового тока: , а также перпендикулярную к оси кругового тока составляющую . Следовательно, при сложении всех составляющих (интегрировании по всему контуру) все они взаимно уничтожатся, в то время как составляющие будут складываться. Следовательно, результирующее поле будет направлено по оси кругового тока (что можно было сказать сразу по условию симметрии задачи относительно оси). Зная направление, мы можем теперь определить величину В, сложив составляющие всех элементов контура. Имеем рис 43.5 Следовательно, Заменяя его выражением через радиус тока R и расстояние точки наблюдения поля от центра окружности : и аналогично получаем окончательное выражение для В: (43.10) Рассчитаем магнитное поле внутри соленоида. Соленоидом называется совокупность одинаковых последовательно соединенных витков, равномерно навитых на общий каркас или сердечник. рис 43.5 Если на единицу длины соленоида приходится n витков, то участок соленоида длиной dl эквивалентен элементу тока Indl. Для определения поля в некоторой точке на оси соленоида воспользуемся формулой (43.10), рассматривая как поле созданное элементом тока (рис. 43.6). Величина этого поля (43.11) где R – радиус витка соленоида. Учитывая, что , получим после подставки в (43.11): Интегрируя от до , получим: Для бесконечно длинного соленоида можно положить = , =0, тогда (43.12) Модель 43.2 Магнитное поле кругового витка с током