Электричество и магнетизм

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым Карлом Гауссом (1777 - 1855) теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.

В соответствии с формулой (3.6) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд q, находящийся в ее центре (рис. 4.1), равен

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить сферу (рис. 4.1) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

рис 4.1	рис 4.2

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 4.2), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока, в конечном счете, сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.

Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд q, поток вектора будет равен q/ , т.е.

(4.1)

Знак потока совпадает со знаком заряда q.

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции (3.4) напряженность поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Поэтому

Согласно (4.1), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен . Следовательно,

(4.2)

Формула (4.2) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на . Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М. В. Остроградским (1801 – 1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю – К. Гауссом.

При рассмотрении полей, создаваемых макроскопическими зарядами (т. e. зарядами, образованными огромным числом элементарных зарядов), отвлекаются от дискретной (прерывистой) структуры этих зарядов и считают их распределенными в пространстве непрерывным образом с конечной всюду плотностью. Объемная плотность заряда определяется по аналогии с плотностью массы как отношение заряда dq к физически бесконечно малому объему dV, в котором заключен этот заряд:

(4.3)

B данном cлyчае под физически бесконечно малым объемом нужно понимать такой объем, который с одной стороны, достаточно мал для того, чтобы плотность в пределах его можно было считать одинаковой, а с другой стороны, достаточно велик для того, чтобы не могла проявиться дискретность заряда.

Зная плотность заряда в каждой точке пространства, можно найти суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S. Для этого нужно вычислить интеграл от по объему, ограниченному поверхностью:

(4.4)

Используя формулу (4.4), теорему Гаусса (4.2) можно записать так:

Теорема Гаусса позволяет в ряде случаев найти напряженность поля гораздо более простыми средствами, чем с использованием формулы (3.2) для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции полей. Рассмотрим применение теоремы Остраградского-Гаусса для расчета некоторых электростатических полей.

Если заряд сосредоточен в тонком поверхностном слое несущего заряд тела, распределение заряда в пространстве можно охарактеризовать с помощью поверхностной плотности , которая определяется выражением

(4.5)

Здесь dq – заряд, заключенный в слое площади dS. Под dS подразумевается физически бесконечно малый участок поверхности.

Если заряд распределен по объему или поверхности цилиндрического тела (равномерно в каждом сечении), используется линейная плотность заряда

(4.6)

(dl – длина физически бесконечно малого отрезка цилиндра, dq – заряд, сосредоточенный на этом отрезке).

4.1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Бесконечная плоскость (рис. 4.3) заряжена с постоянной поверхностной плотностью +

рис 4.3

Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основание и боковую поверхность. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности следовательно (cos =0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю. Площади оснований равны и для основания следовательно совпадает с Е, тогда поток через два основания равен 2ЕS. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен S. Согласно теореме Гаусса (4.2),

откуда

(4.7)

Из формулы (4.7) вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т.е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю и направлению, иными словами, поле бесконечно равномерно заряженной плоскости однородно.

4.2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 4.4).

рис 4.4

Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями + и –. Поле таких плоскостей в любой точке найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности, то есть . На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние – от отрицательной плоскости. Вне плоскостей (области I, III) поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля E=0 . Между плоскостями области ,где (согласно (4.7)), тогда напряженность

(4.8)

Таким образом, результирующая напряженность поля между бесконечными разноименно заряженными плоскостями описывается формулой (4.8), а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.

4.3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 4.5). Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r > R, то внутрь поверхности попадает весь заряд q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (4.2), , откуда

()

(4.9)

рис 4.5

При r > R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. 4.6. Если , то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (Е = 0).

рис 4.6

4.4. Поле объемно заряженного шара.

Шар радиуса R с общим зарядом q заряжен равномерно с объемной плотностью . Учитывая соображения симметрии (см. п. 3), можно показать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в предыдущем случае (см. (4.9)). Внутри же шара напряженность поля будет другая. Сфера радиуса охватывает заряд . Поэтому, согласно теореме Гаусса (4.2),

Учитывая, что получаем

()

(4.10)

Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (4.9), а внутри его изменяется линейно с расстоянием согласно выражению (4.10). График зависимости Е от r для рассмотренного случая приведен на рис. 4.7.

рис 4.7

4.5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити).

Бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 4.8) заряжен равномерно с линейной плотностью . Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой l. Поток вектора сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность равен 2rlE. По теореме Гаусса (4.2), при r>R: , откуда

(4.11)

Если r < R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0. таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра определяется выражением (4.11), внутри же его поле отсутствует.

рис 4.8