Электричество и магнетизм

Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электростатическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это для плоского конденсатора. Подстановка в формулу выражения (13.8) для емкости:

Частное U/d равно напряженности поля в зазоре; произведение Sd представляет собой объем V, занимаемый полем. Следовательно,

(16.1)

Формула связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках, формула (16.1) – с напряженностью поля. Логично поставить вопрос: где же локализована (т.е. сосредоточена) энергия, что является носителем энергии – заряды или поле? В пределах электростатики, которая изучает постоянные по времени поля неподвижных зарядов, дать ответ на этот вопрос невозможно. Постоянные поля и обусловившие их заряды не могут существовать обособленно друг от друга. Однако меняющиеся во времени поля могут существовать независимо от возбудивших их зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию. В частности, энергия, за счет которой существует жизнь на Земле, доставляется от солнца электромагнитными волнами; энергия, заставляющая звучать радиоприемник, переносится от передающей станции электромагнитными волнами, и т.д. эти факты заставляют признать, что носителем энергии является поле.

Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе), заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной объемной плотностью , равной энергии поля, деленной на занимаемый полем объем. Из формулы (16.1) следует, что плотность энергии поля напряженности Е, созданного в среде с проницаемостью , равна

(16.2)

С учетом соотношения (10.1) формулу (16.2) можно представить в виде

(16.3)

В изотропном диэлектрике направления векторов и совпадают. Поэтому формуле для плотности энергии можно придать вид

Заменив в этой формуле ее значением (10.2), получим для следующее выражение:

(16.4)

Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля в вакууме. Второе слагаемое, как мы сейчас докажем, представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика.

Поляризация диэлектрика заключается в том, что заряды, входящие в состав молекул, смещаются из своих положений под действием электрического поля . В расчете на единицу объема диэлектрика работа, затрачиваемая на смещение зарядов на величины , равна

(для простоты мы считаем, что поле однородно). Известно, что выражение равно дипольному моменту единицы объема, т.е. поляризованности диэлектрика . Следовательно,

(16.5)

Вектор связан с вектором соотношением . Отсюда . Подставив это значение в (16.5), получим выражение

Наконец, произведя интегрирование, найдем для работы, затрачиваемой на поляризацию единицы объема диэлектрика, выражение

(16.6)

которое совпадает со вторым слагаемым в формуле (16.4). Таким образом, выражения (16.3) включают в себя, кроме собственно энергии поля , еще и энергию затрачиваемую при создании поля на поляризацию диэлектрика.

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл

(16.7)

Для примера вычислим энергию поля заряженного проводящего шара радиуса R, помещенного в однородный безграничный диэлектрик. Напряженность поля в этом случае является функцией только от r:

Разобьем окружающее шар пространство на концентрические шаровые слои толщины dr. Объем слоя равен . В нем заключена энергия

Энергия поля равна

Полученное нами выражение совпадает с выражением для энергии проводника, обладающего емкостью С и несущего на себе заряд q.